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Probabilidade e Dualidade: De Lançamentos de Moedas à Geometria de Alta Dimensão

2025-09-21

Este artigo explora vários problemas de probabilidade aparentemente não relacionados, como a probabilidade de existir um caminho em um grafo aleatório e a probabilidade de que a envoltória convexa de quatro pontos em um círculo unitário contenha a origem, ambos surpreendentemente iguais a 1/2. O autor usa habilmente truques de dualidade e argumentos combinatórios para revelar as conexões profundas por trás desses problemas. Ao analisar o número de células cortadas de um espaço de alta dimensão por hiperplanos lineares e estudar as propriedades de matrizes aleatórias, o autor finalmente explica esses resultados de probabilidade e propõe vários problemas matemáticos não resolvidos, levando os leitores a ponderarem a curiosa relação entre probabilidade, geometria e dualidade.

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(cgad.ski)
Diversos dualidade

Os Segredos Surpreendentes Escondidos na Entropia de uma Mistura

2025-07-01

Este artigo mergulha na relação entre a entropia de uma mistura de funções de densidade de probabilidade e seu fator de interpolação. O autor revela que a entropia, como função de probabilidades, é côncava, e essa concavidade está diretamente ligada à informação mútua entre as duas distribuições. Introduzindo uma variável de Bernoulli e o conceito de entropia condicional, o artigo explica elegantemente como a informação mútua quantifica a mudança na surpresa esperada de uma previsão, dado o conhecimento do fator de mistura. Além disso, introduz um conceito novo, 'proclividade', conectando-o à divergência KL e à entropia cruzada. O artigo também discute a divergência de Jensen-Shannon e a divergência de Neyman χ² que aparece em expansões de Taylor de ordem superior. Em última análise, conclui que a função de entropia da mistura descreve completamente a distribuição das razões de verossimilhança entre as duas distribuições de probabilidade, oferecendo uma nova perspectiva para entender a relação entre distribuições de probabilidade.

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(cgad.ski)
IA Divergência KL