이 글에서는 방정식 x²+(y+zi)²=1 (x, y, z는 실수, i는 허수 단위)의 3D 플롯을 탐구하여 원과 쌍곡선이 나타나는 것을 보여줍니다. 방정식을 실수부와 허수부로 분리하면 두 가지 경우가 나옵니다. y=0인 경우, x²-z²=1 (쌍곡선); z=0인 경우, x²+y²=1 (단위원)입니다. 이 시각화는 실수 매개변수에 의존하는 실수 행렬의 복소 고유값의 동작에 대한 통찰력을 제공합니다. 이 방법이 고유값을 어떻게 분석하는지 보여주는 2x2 행렬의 두 가지 예가 제시됩니다. 이 글은 이 접근 방식을 단일 실수 매개변수에 의존하는 다른 2x2 행렬로 확장할 수 있음을 시사하며 결론을 맺습니다.
Tristen Harr의 연구 논문은 황금비 φ의 역수 제곱에서 유도된 새로운 복소 상수 ΛG1을 소개하고 분석합니다. ΛG1 = T + iJ (T = 1/(2φ), J = 1/(2φ²))로 정의되며, 1보다 작은 크기의 대수적 수임이 증명되었고, 다중 로그 함수 Lis(z)의 인수로 적합합니다. 이중 로그 함수(s=2)와 삼중 로그 함수(s=3)에 대한 고정밀 수치 평가를 바탕으로, 논문에서는 얻어진 값 Lis(ΛG1)이 모든 정수 s≥2에 대해 초월수이며, 체 확장 Q(π, ln(2), φ) 내에 존재하지 않는다는 추측을 제기합니다. 이 연구는 황금비가 기본이 되는 준결정 연구에서의 잠재적 응용을 부분적으로 동기로 합니다.
알론-보파나 경계는 이 경계에 도달하는 그래프를 구성하는 매력적인 과제를 제시했습니다. 사르낙, 루보츠키, 필립스는 정수론을 사용하여 이 경계에 도달하는 “라마누잔 그래프”를 만들었습니다. 알론과 사르낙 사이에 모든 규칙 그래프에서 라마누잔 그래프의 비율에 대한 내기가 있었습니다. 수년 후, Horng-Tzer Yau는 무작위 행렬에 대한 보편성 추측을 이용하여 이 문제를 해결하고 수십 년 동안 이어진 내기에 종지부를 찍었습니다.
이 글은 조르단 대수, 옥토니온, 리치 격자 간의 깊은 연관성을 탐구합니다. 1930년대 파스쿠알 조르단의 에르미트 행렬의 대수적 성질에 대한 연구를 시작으로, 형식적으로 실수인 조르단 대수와 그 분류, 특히 특별한 27차원 예외형 조르단 대수를 소개합니다. 이를 바탕으로 조르단 대수에서 사영 공간을 구성하는 방법을 설명하고, 예외형 조르단 대수에 의해 생성되는 옥토니온 사영 평면에 초점을 맞춥니다. 마지막으로, 옥토니온 에르미트 행렬로 구성된 이국적인 시공간과 그 안에 존재하는 고유한 적분 단일 모듈러스 격자인 리치 격자를 심층적으로 살펴봅니다. 놀라운 발견은 이 격자가 E6 군의 작용하에 두 개의 구별되는 궤도를 갖는다는 것으로, 기존의 이해와는 다릅니다.
기하 측도론 분야에서 중대한 돌파구가 마련되었습니다! Hong Wang과 Joshua Zahl의 사전 인쇄본 논문에서 악명 높은 3차원 카케야 집합 추측이 해결되었습니다. 이 추측은 모든 방향으로 단위 선분을 포함하는 카케야 집합은 Minkowski 차원과 Hausdorff 차원이 모두 3이어야 한다고 주장합니다. 127페이지에 달하는 이 증명에서는 반복적인 귀납적 방법을 사용하여 '점착성'이 있는 경우와 없는 경우를 교묘하게 처리합니다. 이 획기적인 결과는 수십 년에 걸친 연구의 결실이며, 이전의 성과와 참신한 아이디어를 통합하여 기하 측도론의 중요한 이정표가 됩니다.
수학자들은 특수한 유형의 함수인 모듈러 형식이 복소 평면에서의 고유한 변환 특성에서 비롯된 무한한 대칭성을 가지고 있음을 발견했습니다. 이러한 변환은 기본 영역을 평면의 상반부 전체로 복제하고 특정 규칙에 따라 복사본을 연결합니다. 언뜻 보기에는 단순한 기하학적 연산이지만 매우 강력합니다. 헤케의 이론은 모듈러 형식이 특정 공간에 존재함을 밝혀냈고, 이를 통해 정수를 4개의 제곱의 합으로 표현하는 등의 문제에 그 무한한 대칭성을 활용할 수 있습니다. 수열을 생성 함수로 변환하면 함수가 모듈러 형식인 경우 계수를 정확하게 계산할 수 있으며, 이는 무한한 가능성을 열어줍니다. 이는 수학 및 물리학의 많은 문제 해결에 강력한 도구를 제공합니다.
19세기에 카를 바이어슈트라스는 수학계에 충격을 준 함수를 발표했습니다. 이 함수는 어디에서나 연속적이지만 어디에서도 미분 불가능하다는 특징을 가지고 있으며, 무한히 톱니 모양으로 생겼습니다. 직관에 반하는 이러한 성질은 미적분의 기초를 뒤흔들었고, 수학자들은 연속성과 미분 가능성을 엄밀하게 재정의해야만 했습니다. 이는 현대 해석학의 발전으로 이어졌습니다. 이 「수학의 괴물」은 이론적 중요성뿐만 아니라, 브라운 운동 등의 분야에서 실제적인 응용도 가지고 있으며, 수학의 무한한 가능성을 보여줍니다.
300년 이상 동안 수학자들은 키스 수 문제에 골몰해 왔습니다. 이는 겹치지 않고 중앙 구체에 동일한 크기의 구체가 몇 개나 접할 수 있는지에 대한 문제입니다. 3차원 공간에서는 답이 12이지만, 고차원 공간에서는 여전히 미스터리입니다. 최근 MIT의 학부생 Anqi Li와 Henry Cohn 교수는 기존의 대칭성 가정을 버린 새로운 접근 방식을 고안했습니다. 그들의 파격적이고 비대칭적인 전략은 17차원부터 21차원까지 키스 수의 추정치를 개선하여 1960년대 이후 처음으로 진전을 이루었습니다. 이 돌파구는 정보 이론과 오류 수정 코드에 기반한 기존 방법에 도전하여 이 오래된 수학적 수수께끼를 푸는 새로운 길을 열었습니다.
스티븐 울프럼은 오랫동안 수학계의 수수께끼였던 놀랍도록 간단한 불 대수 공리의 증명에 대해 탐구합니다. 자동 정리 증명을 사용하여 생성된 이 증명은 매우 복잡하여 인간에게는 이해할 수 없는 상태로 남아 있습니다. '기계어' 수준의 연산을 해부하고, 이 증명을 인간이 이해할 수 있도록 만드는 과제를 제시합니다. 대규모 언어 모델(LLM)을 사용하여 증명을 이해하고 단순화할 가능성과 수학의 미래에 미치는 영향에 대해 논의합니다. 결론적으로, 일부 수학적 증명은 본질적으로 해석할 수 없을 수 있으며, 수학은 점점 더 실험 과학과 유사해질 것이라는 점을 시사합니다.
이 글은 1978년 수학자 로저 아페리가 ζ(3)(리만 제타 함수에서 3의 값)이 무리수임을 증명한 전설적인 이야기를 들려줍니다. 그의 증명은 처음에 회의적으로 받아들여졌고, 발표된 학회에서는 혼란을 야기하기도 했습니다. 하지만 아페리는 결국 옳았다는 것이 증명되었습니다. 수년간 수학자들은 아페리의 방법을 확장하려고 애썼지만 진전은 더뎠습니다. 최근에 카레가리, 디미트로프, 탕 세 명의 수학자가 더 강력한 방법을 개발하여 ζ(3)을 포함한 일련의 제타 유사 값의 무리수임을 증명함으로써 수십 년 동안 이어져 온 문제를 해결했습니다. 이 획기적인 성과는 그 결과뿐 아니라 그 방법의 보편성에도 있습니다. 이는 미래의 무리수 증명을 위한 새로운 도구를 제공합니다.
수십 년 동안 수학자들은 실수의 총 개수를 결정하는 것은 풀 수 없는 문제라고 생각했습니다. 그러나 새로운 증명이 그렇지 않다는 것을 시사합니다. 이 기사는 Asperó와 Schindler라는 수학자들이 이전에는 무한 수학의 경쟁적인 기초로 여겨졌던 두 공리가 실제로 서로를 함축한다는 것을 어떻게 증명했는지 자세히 설명합니다. 이 발견은 연속체 가설이 잘못되었다는 주장을 강화하고, 143년 전에는 첫 번째 무한대 수와 두 번째 무한대 수로 여겨졌던 두 개 사이에 더 많은 무한의 크기가 존재한다는 것을 보여줍니다. 이 결과는 수학계에서 흥분과 논쟁을 불러일으켰지만, 무한 집합의 크기에 대한 논쟁은 여전히 결론이 나지 않았습니다.
본 논문은 기존의 덧셈적 무한소와 유사한 "곱셈적 무한소"라는 새로운 개념을 도입하여 새로운 미적분 시스템을 구축합니다. 차이에 기반한 기존 미적분과 달리, 곱셈적 미적분은 비율에 기반하며, 라이프니츠와 유사한 표기법을 사용하지만 'd' 대신 'q'를 사용하여 식의 곱셈적 변동을 나타냅니다. 저자는 로그 연산과 지수 연산을 통해 'q'와 'd'의 관계를 확립하고, 이를 탄성 이론과 곱셈적 미분 계산에 적용합니다. 이러한 접근 방식은 기존 방법으로는 해결하기 어려운 문제에 대한 새로운 해결책을 제공할 수 있습니다.
수학자 벤 그린과 메타브 소니는 p² + 4q² (p와 q도 소수) 형태의 소수가 무한히 존재한다는 것을 증명했습니다. 그들의 증명은 서로 다른 수학 분야의 도구인 고워스 놈을 기발하게 사용하여 소수 세기에서 그 놀라운 힘을 보여줍니다. 이 획기적인 발견은 소수 분포에 대한 이해를 심화시키고 미래 연구에 새로운 길을 엽니다.