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Visualisation des valeurs propres complexes des matrices réelles avec des tracés 3D

2025-07-21

Cet article explore la représentation 3D de l'équation x²+(y+zi)²=1 (où x, y, z sont des nombres réels et i est l'unité imaginaire), révélant un cercle et une hyperbole. En séparant l'équation en parties réelle et imaginaire, nous obtenons deux cas : lorsque y=0, x²-z²=1 (une hyperbole) ; lorsque z=0, x²+y²=1 (un cercle unitaire). Cette visualisation fournit des informations sur le comportement des valeurs propres complexes des matrices réelles qui dépendent d'un paramètre réel. Deux exemples de matrices 2x2 sont fournis, démontrant comment cette méthode analyse les valeurs propres. L'article conclut en suggérant que cette approche peut être étendue à d'autres matrices 2x2 dépendant d'un seul paramètre réel.

(tobylam.xyz)

Mathématiques valeurs propres

Une nouvelle constante complexe dérivée du nombre d'or et sa conjecture de transcendance

2025-06-22

Un article de recherche de Tristen Harr introduit et analyse une nouvelle constante complexe, ΛG1, dérivée des puissances inverses du nombre d'or, ϕ. Définie comme ΛG1 = T + iJ, où T = 1/(2ϕ) et J = 1/(2ϕ²), il est prouvé qu'il s'agit d'un nombre algébrique de magnitude inférieure à un, approprié comme argument pour la fonction polylogarithme, Lis(z). Des évaluations numériques de haute précision pour le dilogarithme (s=2) et le trilogarithme (s=3) suggèrent que Lis(ΛG1) est transcendant pour tous les entiers s≥2 et se situe en dehors de l'extension de corps Q(π, ln(2), ϕ). Cette recherche est en partie motivée par des applications potentielles dans les études de quasicristaux, où le nombre d'or est fondamental.

(zenodo.org)

Mathématiques nombre transcendant

La conjecture d'universalité et un pari sur les graphes de Ramanujan

2025-04-20

La borne d'Alon-Boppana a posé un défi fascinant : construire des graphes atteignant cette borne. Sarnak, Lubotzky et Phillips ont utilisé la théorie des nombres pour créer des « graphes de Ramanujan » atteignant cette borne. Un pari a opposé Alon et Sarnak sur la proportion de graphes de Ramanujan parmi tous les graphes réguliers. Des années plus tard, Horng-Tzer Yau, en exploitant la conjecture d'universalité pour les matrices aléatoires, a résolu ce problème, tranchant définitivement le pari de plusieurs décennies.

(www.quantamagazine.org)

Mathématiques conjecture d'universalité

Au-delà de la Réalité : Des Algèbres de Jordan à la Réseau de Leech dans un Espace-Temps Exotique

2025-03-17

Cet article explore les liens profonds entre les algèbres de Jordan, les octonions et le réseau de Leech. En commençant par le travail de Pascual Jordan dans les années 1930 sur les propriétés algébriques des matrices hermitiennes, il présente les algèbres de Jordan formellement réelles et leur classification, incluant une algèbre de Jordan exceptionnelle de 27 dimensions. Sur cette base, l’article explique comment les espaces projectifs sont construits à partir des algèbres de Jordan, en se concentrant sur le plan projectif octonionique généré par l’algèbre de Jordan exceptionnelle. Enfin, il se penche sur un espace-temps exotique construit à partir de matrices hermitiennes octonioniques et un réseau unimodulaire intégral unique en son sein : le réseau de Leech. Une découverte surprenante est que ce réseau présente deux orbites distinctes sous l’action du groupe E6, contrairement à la compréhension habituelle.

(cp4space.hatsya.com)

Mathématiques algèbres de Jordan réseau de Leech

Percée majeure : la conjecture de Kakeya en 3D résolue

2025-03-02

Une avancée majeure en théorie de la mesure géométrique ! Le pré-print de Hong Wang et Joshua Zahl résout l’infâme conjecture de l’ensemble de Kakeya en trois dimensions. Cette conjecture affirme qu’un ensemble de Kakeya – un sous-ensemble contenant un segment de droite unitaire dans chaque direction – doit avoir une dimension de Minkowski et de Hausdorff égale à trois. La preuve, longue de 127 pages, utilise un argument d’induction itérative traitant avec finesse les cas « adhérents » et « non adhérents ». Ce résultat marquant s’appuie sur des décennies de travaux, intégrant des découvertes antérieures et des idées nouvelles, marquant un jalon significatif en théorie de la mesure géométrique.

(terrytao.wordpress.com)

Mathématiques Conjecture de Kakeya Théorie de la mesure géométrique Percée mathématique

Formes Modulaires : Dévoilement de Symétries Cachées et Possibilités Infinies

2025-02-24

Les mathématiciens ont découvert que les formes modulaires, un type spécial de fonction, possèdent des symétries infinies provenant de leurs propriétés de transformation uniques sur le plan complexe. Ces transformations reproduisent le domaine fondamental sur toute la moitié supérieure du plan, reliant les copies selon des règles spécifiques. Bien que ces opérations géométriques semblent simples, elles recèlent un pouvoir immense. La théorie de Hecke a révélé que les formes modulaires résident dans des espaces spécifiques, ce qui nous permet d'exploiter leurs symétries infinies pour résoudre des problèmes tels que la représentation d'entiers comme sommes de quatre carrés. En convertissant des suites en fonctions génératrices, si la fonction est une forme modulaire, les coefficients peuvent être calculés avec précision, ouvrant des possibilités infinies. Cela fournit un outil puissant pour résoudre de nombreux problèmes en mathématiques et en physique.

(www.quantamagazine.org)

Mathématiques formes modulaires symétrie

La fonction monstrueuse qui a brisé le calcul

2025-01-24

Au XIXe siècle, Karl Weierstrass a révélé une fonction qui a secoué la communauté mathématique. Continue partout mais nulle part différentiable, elle ressemblait à un peigne à dents infiniment dentelé, défiant l'intuition et remettant en question les fondements du calcul. Ses propriétés apparemment paradoxales ont forcé les mathématiciens à redéfinir rigoureusement la continuité et la différentiabilité, aboutissant au développement de l'analyse moderne. Ce « monstre mathématique » a non seulement une signification théorique, mais trouve également des applications pratiques dans des domaines comme le mouvement brownien, démontrant les possibilités illimitées des mathématiques.

(www.quantamagazine.org)

Mathématiques fonction de Weierstrass analyse mathématique

Percée sur le problème du nombre de baisers : une nouvelle approche d'un vieux problème

2025-01-16

Pendant plus de trois siècles, les mathématiciens se sont attaqués au problème du nombre de baisers : combien de sphères identiques peuvent toucher une sphère centrale sans se chevaucher ? Si la réponse est 12 en trois dimensions, les dimensions supérieures restent un mystère. Récemment, Anqi Li, étudiante de premier cycle au MIT, et le professeur Henry Cohn ont conçu une nouvelle approche, abandonnant les hypothèses de symétrie traditionnelles. Leur stratégie non conventionnelle et asymétrique a amélioré les estimations du nombre de baisers dans les dimensions 17 à 21, marquant le premier progrès dans ces dimensions depuis les années 1960. Cette percée remet en question les méthodes établies basées sur la théorie de l’information et les codes correcteurs d’erreurs, ouvrant de nouvelles voies pour résoudre cette énigme mathématique persistante.

(www.quantamagazine.org)

Mathématiques Géométrie Dimensions supérieures

Peut-on comprendre cette preuve ? Un aperçu de la mathématique formalisée

2025-01-10

Stephen Wolfram explore une énigme mathématique de longue date : la preuve d’un axiome étonnamment simple pour l’algèbre booléenne. Générée à l’aide d’une démonstration automatique de théorèmes, la preuve est incroyablement complexe et reste incompréhensible pour les humains. L’article explore les complexités de la preuve, dissèque ses opérations au niveau du « code machine » et propose un défi : humaniser cette preuve. Il discute du potentiel des grands modèles de langage (LLM) pour comprendre et simplifier la preuve, ainsi que des implications pour l’avenir des mathématiques. La conclusion suggère que certaines preuves mathématiques peuvent être intrinsèquement ininterprétables, ce qui indique que les mathématiques ressembleront de plus en plus à une science expérimentale.

(writings.stephenwolfram.com)

Mathématiques démonstration automatique de théorèmes mathématiques formalisées irréductibilité computationnelle

Un problème mathématique centenaire résolu : preuve de l’irrationalité de ζ(3)

2025-01-09

Cet article relate l’histoire légendaire de la preuve du mathématicien Roger Apéry en 1978 que ζ(3) (la fonction zêta de Riemann pour 3) est irrationnel. Sa preuve a été accueillie avec scepticisme et a même causé le chaos lors de la conférence où elle a été présentée. Cependant, Apéry a finalement été reconnu juste. Pendant des années, les mathématiciens ont lutté pour étendre la méthode d’Apéry avec peu de progrès. Récemment, Calegari, Dimitrov et Tang ont développé une méthode plus puissante, prouvant l’irrationalité d’une série de valeurs similaires à zêta, y compris ζ(3), résolvant ainsi un problème vieux de plusieurs décennies. Cette percée réside non seulement dans son résultat, mais aussi dans la généralité de son approche, fournissant de nouveaux outils pour les futures preuves d’irrationalité.

(www.quantamagazine.org)

Mathématiques nombres irrationnels

La Taille de l'Infini : Les Mathématiciens se rapprochent de la réponse au nombre de nombres réels

2025-01-09

Pendant des décennies, les mathématiciens ont cru que déterminer le nombre total de nombres réels était un problème insoluble. Une nouvelle preuve suggère le contraire. L'article détaille comment les mathématiciens Asperó et Schindler ont prouvé que deux axiomes précédemment considérés comme des fondements concurrents pour les mathématiques infinies impliquent en réalité l'un l'autre. Cette découverte renforce l'argument contre l'hypothèse du continu et indique qu'il existe une taille supplémentaire d'infini entre les deux qui, il y a 143 ans, étaient hypothétisés comme étant les premier et second nombres infiniment grands. Bien que ce résultat ait suscité l'enthousiasme et le débat au sein de la communauté mathématique, les arguments concernant les tailles des ensembles infinis sont loin d'être résolus.

(www.quantamagazine.org)

Mathématiques hypothèse du continu infini

Infinitésimaux Multiplicatifs : Une Nouvelle Approche du Calcul

2025-01-08

Cet article présente un nouveau concept appelé "infinitésimaux multiplicatifs", analogue aux infinitésimaux additifs traditionnels, pour construire un nouveau système de calcul. Contrairement au calcul traditionnel basé sur les différences, le calcul multiplicatif est basé sur les quotients, utilisant une notation similaire à celle de Leibniz, mais avec 'q' au lieu de 'd', représentant une perturbation multiplicative d'une expression. L'auteur établit la relation entre 'q' et 'd' à travers des opérations logarithmiques et exponentielles et l'applique à la théorie de l'élasticité et aux calculs de dérivées multiplicatives. Cette approche peut offrir de nouvelles solutions à des problèmes insolubles avec les méthodes traditionnelles.

(github.com)

Mathématiques calcul infinitésimaux

Les mathématiciens découvrent une nouvelle façon de compter les nombres premiers

2024-12-13

Les mathématiciens Ben Green et Mehtaab Sawhney ont prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme p² + 4q², où p et q sont également des nombres premiers. Leur preuve utilise de manière ingénieuse les normes de Gowers, un outil d'un domaine différent des mathématiques, démontrant sa puissance surprenante dans le comptage des nombres premiers. Cette percée approfondit notre compréhension de la distribution des nombres premiers et ouvre de nouvelles voies pour les recherches futures.

(www.quantamagazine.org)

Mathématiques nombres premiers théorie des nombres normes de Gowers

Category: Mathématiques