本文讲述了傅里叶变换的发现及其深远影响。19世纪初，法国数学家傅里叶发现了一种将任意函数分解成基本波的方法——傅里叶变换，它不仅引发了数学革命，也深刻影响了物理学、化学等诸多领域。从压缩文件到增强音频信号，从研究潮汐到检测引力波，傅里叶变换无处不在，甚至在量子力学中也扮演着重要角色。其核心思想是将复杂函数分解成简单的正弦和余弦波，从而简化问题，这如同将一首交响乐分解成各个乐器的声音。
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人工智能领域最新的追求是构建“世界模型”，一个AI系统内部对环境的简化表示，类似于一个计算的“雪球”。Yann LeCun、Demis Hassabis和Yoshua Bengio等AI大牛都认为世界模型对于构建真正智能、科学和安全的AI至关重要。然而，世界模型的具体实现方式却存在争议：是先天性的还是后天习得的？如何检测其存在？文章回顾了世界模型概念的起源和发展，指出当前的生成式AI可能并非基于完整的世界模型，而是依赖于大量的、互不关联的经验规则。虽然这些规则能够完成特定任务，但缺乏鲁棒性。因此，构建完整的世界模型仍然是AI研究的重点，它有望解决AI幻觉、提高推理能力和可解释性等问题，最终推动AGI的发展。
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一项新的研究挑战了传统的达尔文渐进式进化论，揭示了生命演化中存在“爆发式”的快速变化。研究人员通过数学模型分析了多种生物（包括头足类动物、蛋白质和人类语言）的进化数据，发现进化并非总是缓慢而稳定的，而是在进化树的分支点上出现剧烈的、集中的快速进化。这支持了“ punctuated equilibrium ”（间断平衡）理论，表明物种会在长时间的稳定后突然转变为新的物种。这项研究为理解生命演化的复杂性和多样性提供了新的视角。
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数学家Jitomirskaya和Avila曾解决了著名的“十年马提尼难题”，证明了关于电子行为的特定数学模型。然而，他们的证明方法存在局限性，仅适用于简化情景。更现实的情况中，证明失效，美丽的数学图案也随之消失。直到2013年，物理学家在实验室中观测到该图案，促使Jitomirskaya寻求新的数学解释。2019年，她的合作者Ge提出了一种“全局理论”，有望解决这一难题，为理解几乎周期函数提供更优雅的方法。
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数学家Tibor Radó发明的Busy Beaver竞赛旨在寻找运行时间最长的图灵机。参赛者不断挑战，寻找拥有更多规则的图灵机，并计算其运行步数。近些年来，Shawn Ligocki和Pavel Kropitz在BB(6)问题上展开激烈竞争，不断刷新运行步数记录，数字之大甚至超越了宇宙中原子数量，展现了计算能力的飞速发展和算法的精妙之处。
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让电脑识别猫的照片并非易事，但如今，神经网络通过学习数百万甚至数十亿的例子，轻松做到这一点。文章以识别猫照片为例，解释了神经网络的基本原理：通过构建简单的分类器，利用数学函数（神经元）处理输入数据，最终找到最佳边界来区分不同类别。这篇文章深入浅出地解释了神经网络的工作机制，即使没有编程基础也能理解其基本概念。
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从模拟核过程到质数测试，随机算法在计算机科学中扮演着越来越重要的角色。尽管看似矛盾，纯粹的随机性却能帮助我们找到解决问题的结构。例如，在质数测试中，费马小定理结合随机数，能高效判断一个大数是否为质数。虽然理论上存在等效的确定性算法，但实践中随机算法效率更高，且在一些问题上，如寻找带负权边的图的最短路径，随机算法是目前唯一已知的有效方法。随机性，成为了解决复杂问题的一种巧妙策略。
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最新研究揭示了大脑感知口渴的机制。大脑并非直接感知缺水，而是通过位于下丘脑附近的血管器官（如OVLT和SFO），监测血液中盐分的浓度。当盐浓度过高或水盐比例失衡时，这些器官向大脑发出信号，引发口渴感。有趣的是，大脑并非等待水分吸收后再判断是否解渴，而是通过口腔和肠道中的传感器快速估计摄入水量，从而及时关闭口渴信号。这表明，口渴感并非单纯的缺水信号，而是大脑对体内环境的“有根据的猜测”。
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计算机科学领域一个标志性难题——寻找网络中从特定起点到所有其他点的最短路径，几十年来受限于“排序障碍”。最近，清华大学的段然及其团队突破了这一障碍，设计出一种新型算法，其速度超越所有基于排序的算法。该算法巧妙地运用集群策略和Bellman-Ford算法，避免了逐点排序，从而实现了显著的性能提升，为最短路径问题的研究开辟了新的篇章。
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纽约大学神经科学家库库什金（Kukushkin）的研究发现，肾脏和神经细胞都能区分神经递质的脉冲模式，并形成长达一天的“记忆”。这表明，即使是非神经细胞，也能进行模式识别和记忆，挑战了传统神经科学对记忆的定义。研究指出，细胞记忆的形成与刺激的间隔时间有关，间隔刺激更易形成持久记忆，这与动物记忆形成的机制相似。该研究也揭示了科学界长期存在的认知偏见，即将记忆局限于行为变化的观察，忽略了细胞层面的记忆机制。
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加州大学伯克利分校一名本科生Hannah Cairo，在选修研究生课程《傅里叶限制理论》时，意外地深入研究了Mizohata-Takeuchi猜想的一个简化版本，并取得了显著进展。起初，这只是一个作业问题，但Cairo对它着迷，并将其扩展到更复杂的形式。她的导师，数学家Ruixiang Zhang教授，对她的热情和专注印象深刻。这个故事展现了年轻学者的潜能和对知识探索的执着。
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一项惊人的发现挑战了我们对细胞呼吸的理解。科学家们在黄石国家公园的温泉中发现了一种细菌，它能够同时进行有氧和无氧呼吸，这在以前被认为是不可能的。这种细菌的独特代谢方式为研究生命如何在氧气出现后从厌氧呼吸过渡到有氧呼吸提供了新的线索，也揭示了微生物世界令人惊叹的多样性和适应性。这项研究发表在《自然通讯》杂志上，为我们理解生命如何适应极端环境提供了新的视角。
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DeepSeek公司今年早些时候发布的R1聊天机器人引发关注，它以低廉的成本和算力匹敌巨头公司产品。这引发了对DeepSeek是否未经授权使用OpenAI的o1模型进行知识蒸馏的质疑。然而，知识蒸馏并非新技术，它是一种常用的AI模型优化方法，自2015年Google提出以来，已被广泛应用于提升模型效率，降低运行成本。通过将大型“教师”模型的知识“蒸馏”到较小的“学生”模型中，可以显著降低模型规模和运行成本，而性能损失极小。这一技术已广泛应用于BERT等大型语言模型的优化，并持续在各个领域展现出巨大的潜力。
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人工智能正以前所未有的方式改变着物理学研究。文章讲述了AI在LIGO实验中的应用，提高了灵敏度；AI算法从大型强子对撞机数据中发现了爱因斯坦相对论中的对称性，并找到了一种新的暗物质团簇方程。更令人惊叹的是，AI辅助设计的新量子纠缠实验，其方案优于之前的经典设计，并已在中国得到成功验证，展现了AI在物理实验设计和数据分析中的巨大潜力。
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数学家们长期以来致力于证明广义相对论中的奇点定理，例如霍金奇点定理，但这些定理依赖于时空光滑的假设。最近，研究人员通过巧妙地运用“三角形比较法”和“最优运输理论”，成功地在非光滑时空下证明了这些奇点定理的特殊情况，甚至扩展到更一般的时空模型。这项突破性进展不仅强化了大爆炸奇点理论的数学基础，也为量子引力的研究提供了新的数学工具，为统一广义相对论和量子物理学铺平了道路。
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一项新的研究颠覆了加密学领域长期以来依赖的随机预言模型。研究人员发现了一种方法，可以利用广泛使用的 Fiat-Shamir 变换欺骗证明系统，使其认证虚假陈述。该变换常用于区块链等系统中验证外部服务器的计算，其安全性依赖于随机预言模型的假设。该研究表明，即使在假设成立的情况下，攻击者仍然能够利用此漏洞。这一发现促使业界重新思考随机预言模型以及依赖它的各种加密应用的安全性，引发了对区块链安全性的担忧，甚至可能导致加密货币被盗。
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困扰数学家数十年的高维空间球体堆积问题取得了重大突破。Boaz Klartag教授另辟蹊径，运用凸几何的知识，巧妙地改进了一种已有方法，实现了球体堆积效率的显著提升。他利用随机过程调整椭球体，最终找到了比以往任何方法都更有效的球体堆积方式，其效率在高维空间中提升了数百甚至数百万倍。这一突破不仅刷新了球体堆积的记录，也重新燃起了对高维空间中球体最佳堆积方式的讨论，为密码学和通信等领域带来了新的启示。
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一个新的思想实验正在挑战量子力学的基石。该实验涉及到四个参与者，通过一系列复杂的量子测量，最终导致了矛盾的结果：两个观察者对同一个事件得出了完全相反的结论。这表明，我们对量子力学的三个基本假设中至少有一个是错误的：量子力学是普遍适用的；测量只有一个结果；不同观察者的量子力学预测不矛盾。该实验迫使我们重新审视量子力学的各种解释，例如多世界诠释和自发塌缩理论，并可能预示着对现实本质的全新理解。
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科学家利用位于密歇根州立大学的FRIB设施，成功观测到了i-过程中关键同位素的衰变过程，精确测量了其中子俘获率。这为解释某些贫金属碳增强恒星中重元素丰度异常提供了关键证据，并为理解宇宙中重元素的起源提供了新的视角。未来，研究团队计划将此技术应用于r-过程研究，以进一步揭开宇宙中更重元素（如金、银、铂）的起源之谜。
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哈佛大学教授L. Mahadevan致力于运用数学和物理学探索日常现象的形态和功能。从莫比乌斯带的平衡形状到生物形态发生和社会性昆虫群落的复杂因素，他都充满了好奇心。本期播客中，他分享了研究灵感，并解释了凝胶、石膏和LED灯如何帮助揭示生物系统中的形态和功能，以及嘈杂的随机过程如何影响我们对几何的直觉。他研究了大脑褶皱，并用凝胶实验模拟了大脑的折叠过程，以及白蚁如何建造巨型蚁丘来调节温度和通风。
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数学家们长期以来研究“单稳态四面体”——一种只有一侧稳定的特殊四面体。理论上，这种形状可以通过巧妙的质量分布实现，但现实中构建却极其困难。Gergő Almádi和他的团队经过复杂的计算和多次失败的尝试，最终利用碳纤维框架和钨碳部件，成功构建了一个单稳态四面体模型。这个模型的成功不仅验证了数学理论，也为未来工程设计，例如月球着陆器的设计，提供了新的思路。
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一群数学家在芬兰北极圈附近的一次会议上，探索了数学宇宙中无限的奥秘。他们发现了两种新的无限基数，这些基数并不符合已知的层次结构，而是“爆炸”式地产生了新的无限类别，挑战了数学宇宙的已知秩序。这一发现引发了关于数学宇宙结构的激烈辩论，有人认为它代表了实质性的进展，也有人质疑其有效性。这场争论的核心在于对数学公理体系的理解，以及对无限的本质的探索。
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麻省理工学院的研究人员发现，微生物生态系统会经历类似物理学中相变的阶段：稳定、部分物种灭绝、剩余物种剧烈波动。他们发现，物种多样性高的、波动剧烈的生态系统更容易被入侵物种入侵，这与传统的生态学理论相悖。研究表明，生态系统初始物种存活比例越高，越容易被入侵。Lotka-Volterra模型验证了这一结果，表明这可能是复杂动力系统的新兴特性。
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几百年来，物理学家一直试图理解引力的本质。牛顿的万有引力定律虽然有效，但其远程作用机制令人费解。爱因斯坦的广义相对论虽然提供了更深入的解释，但也存在局限性。近年来，熵力引力理论提出，引力并非基本力，而是更微观物理过程的集体效应，类似于17世纪的机械模型。最新研究通过量子比特模型模拟了这种效应，认为引力是由于量子比特与质量物体的相互作用，导致熵增加而产生的表观吸引力。虽然该模型尚处于初步阶段，但它为引力研究提供了新的实验方向，例如检验量子叠加态下的引力效应，这可能有助于理解波函数坍缩等基本问题。
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计算复杂性理论的核心问题之一是P与PSPACE的关系。P类问题能在合理时间内解决，PSPACE类问题则在合理空间内解决。直觉上，空间比时间更强大，因为空间可重复利用，但时间不可逆。50年来，研究者们试图证明PSPACE大于P，即存在一些问题，在有限时间内无法解决，却可在有限空间内解决。Hopcroft, Paul和Valiant在1975年取得突破，证明空间比时间略强。然而，这一进展受限于“模拟”方法的局限性。直到Ryan Williams打破僵局，另辟蹊径，最终攻克了这一难题。
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一项新的研究揭示了人类大脑的能量效率之谜。大脑的运作远比我们想象的更节能，这与我们祖先在能量匮乏环境中进化有关。即使在休息状态下，大脑也在进行大量活动，包括预测和维持体内平衡。而当我们进行高强度脑力活动时，大脑的能量消耗会显著增加，这解释了为什么长时间专注会让人感到疲惫。大脑进化出多种机制来限制能量消耗，例如降低神经元放电频率和降低突触传递效率，以最大限度地提高信息传输效率。这项研究为我们理解大脑的运作机制，以及人类认知能力的极限提供了新的视角。
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计算机计算中不可避免的能量损耗，如同汉塞尔和格莱特遗落的糖果屑，一直是困扰科技界的难题。Landauer率先提出可逆计算的概念，但一度被认为是死胡同。Bennett的“反计算”理论为其带来了新的希望，通过巧妙地避免数据删除来减少能量损耗，但速度问题制约了其应用。MIT的工程师们尝试设计低损耗芯片，但进展缓慢。直到近年来，随着计算机电路接近物理极限以及AI并行计算需求的兴起，可逆计算再次受到关注。Earley的研究精确量化了可逆计算的节能效果，为其商业化应用铺平了道路，Vaire Computing的成立标志着可逆计算从理论走向现实的里程碑。
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本期《为什么的快乐》播客邀请理论物理学家杨辉何探讨几何学。从古埃及测量土地到爱因斯坦的广义相对论，几何学始终扮演着关键角色。杨辉何认为几何学是现代物理学的统一语言，并推测AI将如何进一步革新该领域。两位主持人还讨论了形式化数学与直觉洞察之间的张力，以及两种类型的数学家：“鸟”和“刺猬”。
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宇宙的起源和黑洞中心，这两个物理学难题都指向了“奇点”——时空结构崩溃的点。爱因斯坦的广义相对论预言了奇点，但它在奇点处失效。近年来，一系列研究表明，即使考虑量子效应，奇点依然存在，挑战着物理学家构建完整量子引力理论的努力。这暗示着，宇宙可能存在时空结构彻底瓦解的区域，时间停止，一切变得无法预测。未来，量子引力理论或许能解释奇点，但时空的概念可能需要重新定义。
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一个看似简单的数学问题——无和集（sum-free set）猜想，困扰数学家数十年。该猜想探讨的是在一个整数集中，是否存在一个很大的子集，使得子集内任意两个数的和都不在该子集中。1965年，著名数学家Paul Erdős提出了这个问题，并给出了一个下界。此后，尽管许多数学家尝试改进，但进展甚微。直到今年2月，牛津大学研究生Benjamin Bedert最终解决了这个难题，证明了在任何整数集中都存在一个很大的无和子集，其大小远超之前的估计。Bedert的证明巧妙地结合了多个数学领域的技巧，为解决其他类似问题提供了新的思路。这一成果被誉为数学领域的重大突破。
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